15 sombreros, blancos y negros.

—¡Ya lo tengo, yo seré Woody! ¡Hay una serpiente en mi bota!

— No, Ven, yo seré el vaquero, ¡ése es mi sombrero de vaquero! Me lo compraron papá y mamá en Almería.

—No, es mío, yo también fui al lejano oeste de Almería.

—Sí, pero te compraste aquellas plumas de jefe indio. Mira en el baúl, seguro que están ahí.

—¡No quiero! Yo lo he cogido primero.

—Oh, mira el sombrero de gran mago, Ven. Ése te quedará mejor, porque tú eres un gran mago, el mejor mago de todos los tiempos.

El pequeño Ven sonríe con orgullo ante la adulación de su hermano, pero instantáneamente, se cala aún más el sombrero de vaquero y mira con recelo al gafotas. Están buscando disfraces para el carnaval en su caja de disfraces, mientras Gauss, su mascota, empieza a mosquearse ante la inminente discusión.

—¡Que no, Sal! ¡Que quiero ser Woody, ya está! —y cambiando la voz con aspecto chulesco continúa — ¡Alguien ha envenenado el abrevadero!

—Pero Woody no es más que un juguete, Ven. Sin embargo, un gran mago es mucho más especial, puede conseguir lo que quiera.

—Pues tú serás el gran mago —respondió Ven con sonrisa pícara.

—Pero… bueno, ¿qué les pasa a mis chicos?

Era Mati quien acababa de entrar en la habitación y, como siempre, Gauss se acercó a ella moviendo alegremente la cola.

—¡Hola, Mati! —dijeron los dos hermanos al unísono.

—¿Eligiendo disfraces para el carnaval, chicos?

—Sí, pero Sal me quiere quitar el sombrero de vaquero —dijo Ven mientras se aferraba a las alas del mismo.

—No es cierto, Ven, ese sombrero es mío.

—No, todo lo que tenemos es de todos, somos una familia, ¿recuerdas? Y yo lo he cogido antes —concluyó el pequeño con su boquita torcida y los carrillos inflados.

—Pero, Sal, ese sombrero de mago es muy elegante…

—Es un sombrero de gran mago —se apresuró a decir Ven recalcando lo de ‘gran’.

—Oye, pues me acabo de acordar de unos acertijos sobre sombreros muy, muy divertidos. Son con sombreros de mago, bueno, de gran mago, blancos y negros. ¿Queréis que os los cuente?

Sal se colocó el sombrero de ma… de gran mago y se sentó en el suelo con una sonrisa expectante. Ven se colocó a su lado, con ganas de escuchar a Mati.

—Entiendo que eso es un sí —dijo la pelirroja y les guiñó un ojo — Imaginaos que estáis en una fiesta de cumpleaños con unos amiguitos, con 6 amiguitos…

—Qué pocos, Mati —protestó el presunto vaquero.

—¿Cuántos quieres que haya, Ven?

—¡15! —respondió sin pensar y con alegría.

—Pues, 15. En una fiesta hay 15 amigos y el papá del niño de la fiesta, les propone el siguiente juego.

Os colocaré a todos en fila, uno detrás de otro…

—¡Fila india, forastera! —interrumpió el pequeño, con la boca de medio lado.

—Por favor, Ven, no interrumpas más a Mati —protestó el gafotas —Además, no sabes hablar bien como vaquero.

—Bueno, chicos, sigo. Tenemos a 15 niños en una fila india, de forma que cada niño, sólo puede ver a los que están delante de él en la fila, ¿no?. El papá les propone el siguiente reto:

Os voy a colocar un sombrero de gran mago a cada uno sin que veáis de qué color es. Los sombreros sólo serán de 2 colores: blancos o negros. A continuación, empezando por el último de la fila, empezaré a preguntar a cada uno de qué color cree que es el sombrero que lleva puesto. Por cada niño que acierte su color, os daré 3 caramelos. Al final tendréis que repartir los caramelos entre todos.

¿Se os ocurre cuántos pueden acertar y, por lo tanto, cuántos caramelos podrán conseguir?

—El último ve todos los sombreros que tiene delante, ¿no? —quiso saber Sal.

—Efectivamente —respondió ella.

—¿Cuántos sombreros hay de cada color? —siguió preguntando el gafotas.

—No se sabe.

—Entonces es imposible acertar, forastera —dijo Ven con una graciosa imitación de no se sabe muy bien qué.

—Bueno, pueden decir un color al azar… —contestó Mati.

—Ah, en ese caso —respondió alegremente Sal — ganaran la mitad de los caramelos.

—¡Pero si 15 no tiene mitad! —protestó el pequeño.

—Sí, 7’5 es la mitad…pero claro, no pueden acertar 7,5 chicos…—el gafotas estaba tratando de pensar en la solución.

—Bueno, como dice Sal, o eso entiendo yo, la probabilidad de acertar diciendo un color al azar, es de 1 entre 2, y eso es del 50 %. Pero ése es un valor esperado, pero puede ocurrir que nadie acierte…

—O que acierten todos y ¡toma, toma, toma! ¡Un montón de caramelos!

—O ninguno, Ven —agregó Sal con voz pensativa.

—Toma, es verdad, pobres…

—El caso es que —continuó Mati —respondiendo al azar, sin ninguna estrategia previa, es posible que se queden sin caramelos. Sin embargo, si planean alguna señal mientras el padre va a buscar los sombreros, hay una forma de que acierten, seguro 7 de ellos, puede que más.

—¿Cómo, Mati? —preguntaron los dos a la vez.

—Acuerdan entre ellos, que los que ocupen posiciones impares en la fila, dirá el color del que tiene justo delante, que ocupará una posición par. Así, los pares acertarán todos, son 7, y puede que alguno de los impares también, si tiene el mismo color de sombrero que el que tiene delante.

—¡Guay! —el pequeño no se pudo contener.

—Vamos a verlo con un ejemplo —dijo Mati y dibujó 15 monigotes en su pizarra con sombreros blancos y negros según le iban diciendo Sal y Ven. Gauss también ladró intentando elegir, pero nadie lo entendió.

— El primero en hablar es el último de la fila, posición 15, impar, y dice el color del que está delante. En este caso ha acertado, le ponemos una palomita.

—¡Bien! —dijo Ven con vehemencia.

—El siguiente, el de la posición 14, par, dice lo que ha dicho el anterior, y siempre acierta.

—¡Dos palomitas! —dijo Sal sonriendo.

—¡Seis caramelos! —agregó el pequeño Ven. Gauss se relamió.

—Ahora le toca al número 13, impar, y dice el color del que tiene delante, pero no acierta. No hay palomita.

—Ni caramelos —dijo Ven con penita.

—Pero el número 12, par, dice lo que dijo el anterior y acierta. Le ponemos palomita.

Los dos hermanos sonrieron. Gauss también.

—Os toca, a ver si sabéis marcar con palomitas los que acertarán usando esta estrategia.

Sal y Ven se pusieron manos a la obra y pintaron esto en la pizarra:

—Mati, no sale ¿Qué tiene que decir el primero? —preguntó Sal.

—Ah, claro. El primero lo que quiera, pero yo creo que ya lleváis muchos caramelos… que diga “blanco”

—¡Toma, toma, toma! ¡30 caramelos! ¡Cómo mola! —Ven estaba entusiasmado.

—En este caso, sí. Pero lo que podemos asegurar es que, como mínimo, serán 21 caramelos, 7 aciertos. Pero es imposible que todos fallen, como en el caso en el que se hace sin estrategia previa.

—Es fantástico —afirmó el gafotas.

—Pero hay una estrategia mejor… —dijo con tono intrigante la pelirroja.

—¿¿Sí?? ¿¿Cómo?? —dijeron los dos hermanitos. Gauss se deshacía en saliva.

—Mientras que el padre va a buscar los sombreros, ellos deciden que el que empieza a hablar, que es el último de la fila y ve todos los sombreros de sus amigos, contará los sombreros negros. Si hay un número par de sombreros negros, dirá “negro” y si el número de sombreros negros que ve es impar, dirá “blanco”.

—¿Y si no acierta, Mati?

—Es el único que puede fallar, con un 50 % de probabilidad.

—¿Cómo?

—Imaginemos que cuenta los sombreros negros delante de él y dice “negro”, podrá acertar o no, pero el siguiente en hablar sabe que hay un número par de sombreros negros. Cuenta cuántos sombreros negros siguen quedando delante de él, si es par dice “blanco” y acierta; si es impar, es porque su sombrero es negro, dice “negro” y acierta.

—¡Wow! ¡Maravilloso! —dijo Sal.

—No lo entiendo —aceptó el pequeño vaquero con resignación.

—Vamos a a verlo en un diagrama, Ven. Si el primero dice “negro”, el segundo sabe que hay un número par de negros, contándolo a él. Mira a los que están delante suya, si sigue habiendo un número par, dice “blanco” y acierta, porque si el suyo fuera negro, quedaría un número impar de éstos delante de él. Supongamos que ha dicho “negro”, en ese caso, el siguiente en hablar, el niño en la posición 13, sabe que ahora hay un número impar de sombreros negros, contándose él, porque había par y el 14 era negro. Cuenta cuántos sombreros negros quedan delante de él, y si hay un número par, dice “negro” y acierta, porque si el suyo fuera blanco, seguiría quedando un número impar de negros delante de él. Y así, sucesivamente, cada niño sólo debe memorizar la paridad del número de sombreros negros que van quedando antes de él. Si cuando llega a él, cambia de paridad (de par a impar, o al revés), su sombrero es negro. Si no, es blanco.

—¡Toma! ¿Y todos aciertan? —preguntó Ven con los ojos como platos.

—Bueno, el primero puede fallar —puntualizó su hermano.

—Exacto —dijo Mati —pero 14 acertarán seguro, y eso son 42 caramelos.

Al pobre Gauss casi le da un soponcio de la emoción.

—¿Cuántos para cada uno, Mati?

—Bueno, 12 de ellos tendrán 3 caramelos, y 3 sólo 2.

—Pobres…—dijo Ven.

—Seguro que hay algún niño poco goloso que no le importa recibir un caramelo menos —dijo la gafotas con un guiño.

—Es alucinante, Mati —dijo Sal.

—Pues sí, y es un ejemplo más de que la unión hace la fuerza y de que hay que colaborar para conseguir el bien de la comunidad —sentenció Mati.

—Es verdad —dijo Ven muy contento —como en el fútbol.

—Claro, cielo. ¿Os apetece otro acertijo?

—¡Sí! —contestaron los dos niños.

—¡Guauss! —dijo Gauss.

— Tenemos 5 sombreros de gran mago: 3 negros y 2 blancos. Y tres niños.

—¡Sal, Gauss y yo!

—Perfecto —dijo Mati sonriendo — Los ponemos en fila y le colocamos un sombrero a cada uno, al azar. Le preguntamos al último de la fila, Gauss,que ve los otros 2 sombreros, de qué color es su sombrero. Y contesta “guaguaguauau” que significa “no lo sé”. Le preguntamos al siguiente, Ven, y responde “no lo sé”. En ese momento, el primero de la fila, Sal, exclama “¡Ya sé de qué color es mi sombrero!” La pregunta es: ¿de qué color es el sombrero de Sal?

Sal y Ven se quedan pensando un rato, al cabo del cuál el gafotas exclama:

—¡Negro!

—¡Muy bien! —dijo con orgullo Mati.

—¿Por qué? —preguntó Ven.

—Porque si Gauss no sabía de qué color era su sombrero, es porque estaba viendo algún sombrero negro en las cabezas de Sal y Ven, si los dos que él ve son blancos, como sólo había 2 de éstos, hubiera deducido que su sombrero era negro. Entonces, Ven, que es el segundo en hablar, sabe que Gauss ha visto un sombrero negro, si el de Sal es blanco, Ven hubiera dicho que el suyo era negro. Pero ha dicho que no lo sabe, entonces es porque el sombrero que lleva Sal es negro.

—¡Toma, toma, toma! —gritó Ven mientras abrazaba a Sal y lo besaba con auténtica admiración.

Mati reía contenta y orgullosa de sus amiguitos.

—El último acertijo de sombreros, ¿queréis, chicos?

—¡Sí!

—Ahora tenemos 6 sombreros de gran mago, 3 negros y 3 blancos, y nuestros 3 protagonistas. Le ponemos los sombreros al azar, pero ahora cada niño puede ver el sombrero de los otros 2. Se les pregunta de qué color es el sombrero que llevan y si aciertan, al menos, 2 de ellos, ganarán un premio. Ahora les dejamos pasar, es decir, si no están seguros, pueden decir “no lo sé”. Antes de que les pongan los sombreros, pueden hablar entre ellos y preparar una estrategia para ganar. Como en el problema de los 15 sombreros, ¿vale? ¿Cómo pueden asegurar ganar el juego?

Sal y Ven se pusieron a pensar muy concentrados. Gauss aprovechó para echarse una siesta.

—Ni idea, Mati —aceptó Sal después de unos minutos.

—Ni yo —remató el pequeño.

—Pues, fijaos. Antes de empezar, ellos acuerdan que el primero que hable, por ejemplo, Ven, si ve que Sal y Gauss llevan los sombreros del mismo color, dirá el contrario. Puede que Ven falle, pero Sal y Gauss acertarán y habrán ganado.

—¡Toooomaaaa! —exclamó Ven con los ojos como platos.

—Si Ven ve que Gauss y Sal llevan sombreros de distinto color, dirá “no lo sé”. En ese caso, tanto Sal como Ven, saben que llevan uno el color contrario del otro, y también acertarán y los 3 habrán ganado.

—¡Claro, Mati! ¡Es genial! —al gafotas le dio un poco de rabia no haberse dado cuenta, pero estaba radiante de felicidad con la solución que le acababa de contar Mati.

—Y otra vez, Mati, hay que trabajar en equipo para ganar —dijo Ven

—Exacto, pequeño. Se consiguen más cosas cuando nos ayudamos unos a otros.

—Toma, Sal, el sombrero de vaquero, que a ti te hace más ilusión y siempre me estás ayudando.

—No, Ven, quédatelo. Muchas gracias, yo me disfrazaré de bombero, que también me gusta mucho —dijo Sal buscando en la caja — Por cierto, ¿has cogido tú el casco de bombero?

Mientras los niños se disponen a buscar el casco, en un rincón de la habitación…

FIN

Los acertijos que les he propuesto a Sal, Ven y Gauss esta semana, son bastante conocidos desde siempre. En algún sentido, recuerdan al de 11 para la gloria propuesto por Juan Mata y que ya contamos aquí. De hecho, una de las estrategias, igual que en el caso del desafío de Mata, ha aparecido en El País como otro de sus desafíos matemáticos

Si os gustan estos juegos de ingenio, no os despistéis mucho, porque otro día os traeré más.

Hasta pronto.

MATI