24 curvas hasta Barcelona

—¡¡Eh, Gauss!! —gritó Ven — ¡No te alejes tanto! ¡Tenemos que seguir! ¡Ya casi estamos en Barcelona!

—Déjalo que corra un poco, Ven —dijo Sal —El pobre lleva mucho rato en el coche…

—Sí, además —afirmó el pequeño con cara de pícaro —con lo miedica que es, no irá muy lejos.

Nuestros amigos Mati, Sal, Ven y Gauss iban de viaje a Barcelona a visitar a su amiga Mamen a la que hacía mucho que no veían. Acababan de parar en una estación de servicio para estirar las piernas, repostar gasolina… y esas cosas. Mientras Mati compraba agua y galletas, los niños y Gauss aprovecharon para pasear un poco alrededor.

—Mira, Sal, qué curioso…

—¿El qué? —preguntó el gafotas.

—Que en ese cable de ahí no hay pajaritos y ¡mira!

—¿Qué quieres que mire, Ven?

—Pues que está hundido hacia a bajo, como si tuviese pajaritos. Parece que los pajaritos no pesaran nada…

—Es cierto, porque el que sí tiene pajaritos está exactamente igual…

Gauss miraba a ambos cables con los ojos entornados como si de verdad pudiese intuir a qué se debía aquel misterio.

—¿Seguimos, caballeros? —Mati acababa de llegar a donde estaban ellos. Traía helados y los ojos de Ven se abrieron de par en par.

—¡Mi favorito, Mati! —dijo el pequeño —¡Gracias!

—A ti te traje tus patatas favoritas, Sal —dijo la pelirroja —como no te gusta el helado…

—Gracias —dijo Sal pensativo —Mira, Mati, fíjate en esos dos cables… en el que no tiene pajaritos…

—Ajá, el de los pájaros me gusta más —dijo ella guiñando un ojo —Pero, dime, cielo.

—¿Ves que el que está vacío también se hunde hacia abajo? —siguió él —Parece que estuvieran posados pajaritos invisibles, ¿verdad?

—¡Hala! —intervino el pequeño —Eso no existe, ¿verdad, Mati?

—Yo no he dicho que existan, Ven, he dicho que pa-re-ce.

—Ah, te refieres a la catenaria del cable —interrumpió la pelirroja.

—¿¿La qué?? —dijeron los niños al unísono.

— La catenaria —repitió Mati —Es el nombre de esa curva, de la curva que adopta un cable, una cuerda o una cadena, suspendida entre dos extremos.

—¿Siempre sale la misma? —preguntó Ven boquiabierto.

—Bueno, en realidad —respondió Mati —la catenaria sólo saldría en unas condiciones ideales, con una cuerda idealmente delgada e idealmente flexible…

—¡Qué ideal, chica! —bromeó el pequeño.

Mati se echó a reír, Sal miró de reojo a su hermano, Gauss estornudó.

—Pero podemos decir que sí, que es una catenaria, porque casi lo es —concluyó la gafotas.

—¿Catenaria es por cadena, Mati? —preguntó Sal.

—¡Efectivamente, Sal! —Mati se sorprendió gratamente —Proviene del latín catenarius (propio de la cadena).

Sal sonrió y miró al suelo, un poco ruborizado, Ven le zampó un beso a su hermano en la mejilla, Gauss contempló la escena con pelusilla.

—Ese beso a tu hermano, Ven —dijo Mati sonriendo —me recuerda la historia de otros dos hermanos que tuvieron mucho que ver con la catenaria, y que no acabaron precisamente a besos…

—¿Por qué? ¿Quiénes eran, Mati? —preguntó intrigado el gafotas.

—Eran Jacob y Johann Bernouilli, dos matemáticos suizos. Hacía mucho tiempo, Galileo…

—¡El que inventó el experimento que nos enseñó Fis! —gritó Ven

—El mismo —continuó Mati —Galileo pensaba que la curva que adoptaba una cadena sujeta por los extremos era una curva conocida como parábola. Pero, no, no lo es. El hermano mayor, Jacob lo sospechaba pero no conseguía demostrarlo, se pasó mucho tiempo dándole vueltas hasta que un día, su hermano pequeño, en una sola noche, encontró la demostración de que la curva no era una parábola,…

—¡Toma, toma, toma! ¡Qué crack! —dijo Ven entusiasmado.

—Sí, un crack —corroboró Mati —A su hermano mayor no le hizo tanta gracia… Dicen que se puso un poco celoso…

—Qué tontería… —dijo Sal —Su hermano pequeño le demostró que tenía razón y ya no tendría que pensar más en el problema.

—Pues sí, Sal, tienes razón —respondió Mati — ¿Sabéis a quién le gustaban mucho las catenarias?

—¿A quién? —dijeron a la vez los dos hermanos.

—A Gaudí —dijo Mati — Pero en general, a muchos arquitectos y diseñadores. Porque un arco con forma de catenaria invertida es una estructura muy estable, que soporta muy bien su propio peso ¿Os acordáis del Parque Güell de Barcelona?

—Claro, Mati —dijo Sal —Fuimos el verano pasado.

—Pues allí se pueden encontrar arcos de catenaria por muchos sitios…

—¿Podremos ir con Mamen y el Mapache? —preguntó el pequeño.

—Seguro que sí —respondió la gafotas —Pero aparte de su uso en la arquitectura tratando de imitar a la naturaleza, ¿sabéis que es lo más divertido de la catenaria?

—¿¿Qué?? —preguntaron los niños con impaciencia.

—Que se pueden diseñar pistas para bicicletas… —la pelirroja hizo una pausa dramática —¡con las ruedas cuadradas!

—¡NO! —dijo Sal escéptico.

—¡MOLA! —gritó Ven.

—Pues sí, Sal, sí —siguió Mati divertida — El truco está en que para que un movimiento sea suave lo que tenemos que conseguir es que el eje de la rueda, el centro, describa una linea recta. Si la carretera es lisa, eso se consigue únicamente con ruedas circulares, todos los puntos de la rueda están a la misma distancia del centro. Pero esta propiedad no la tiene el cuadrado. Para que la rueda cuadrad ruede manteniendo el centro en línea recta, el suelo no puede ser liso

—Pues bien, eso se consigue si el suelo está formado por catenarias invertidas —concluyó ella.

—Alucinante… —dijo Sal embobado.

—¡Chulísimo, Mati! —añadió Ven.

—Es que las curvas son muy emocionantes, chicos.

—Bueno, en la carretera marean un poco… —dijo Ven —Gauss se pone muy raro cuando hay muchas curvas…

—Pues hay una otra curva famosa —continuó Mati — que se parece mucho a la catenaria, la cicloide.

—¿También tiene que ver con las cadenas, Mati?

—No, Sal, tiene que ver con un círculo rodando —contestó ésta —Imagina que tenemos una circunferencia de metal y que un punto de esa circunferencia ponemos un lápiz. Hacemos girar la circunferencia sobre una recta, pegada a una pizarra. Pues bien, la cicloide es la curva que pinta el lápiz sobre la pizarra.

—¡Otra vez la catenaria! —gritó Ven.

—No, Ven, se parece pero no es —dijo Mati con un guiño.

—¿Sirve para algo la cicloide, Mati? —preguntó el gafotas.

—Pues sí, ya veréis —anunció ella —Desde muy antiguo, los matemáticos querían encontrar una curva, la llamaban braquistócrona, que fuera la curva de descenso más rápido entre dos puntos. Es decir, la curva necesaria para llevar, por ejemplo una bolita, de un punto a otro en el menor tiempo posible, sólo deslizándose por efecto de la gravedad.

Los niños escuchaban a Mati ensimismados, Gauss estaba poniendo carea de marearse, ella continuó.

— Venga, ¿sabéis quién resolvió el problema de encontrar la braquistócrona? —les preguntó.

— ¡¡GAUSS!! — gritaron los dos hermanos a la vez, el aludido se puso a ladrar y mover la cola con alegría.

— ¡Jajajajaja! No, fue antes de que naciera Gauss —Gauss retorció el hocico, Mati continuó — Fue, de nuevo, Johann Bernouilli. Descubrió que la braquistócrona era la cicloide.

—Pero más rápido que cualquier curva sería usar una rampa muy inclinada, ¿no, Mati? —preguntó Sal.

—No, Sal, lo que demostró Johann Bernouilli es que el transporte usando la cicloide es más rápido que con cualquier otra curva, incluida cualquier rampa.

—¡Toma, toma, toma! ¡Es más que un crack! — Ven estaba eufórico.

—Sí — confirmó Mati — Aunque en el mismo número de la revista en que lo publicó, otros cuatro matemáticos muy prestigiosos, publicaron también la solución: Newton, Leibniz, Von Tschirnhaus y su hermano, Jacob.

— ¿Tan fácil era la solución, Mati? —preguntó Sal.

—No, cielo, tan inteligentes eran ellos — le respondió — Pero además de ser la curva de descenso más rápido, la cicloide tiene otra propiedad que parece mágica.

—¿Cuál, cuál? —preguntó Ven.

—La cicloide es también tautócrona.

—¿¿Qué??

—Sí, tautócrona —continuó la pelirroja —Si soltamos pelotitas sobre una cicloide a distintas alturas de la misma, todas llegan abajo al mismo tiempo…

—Sí, claro… —respondió el pequeño incrédulo.

—Sí, porque las que tienen que recorrer más espacio, saldrán con más aceleración al estar la pendiente más inclinada —le explicó la gafotas —Cuando lleguemos a casa de Mamen os mostraré unos vídeos.
—Eso, vámonos, Mati —dijo Sal —¿Falta mucho para llegar Mati?

—Unas…24 curvas —le respondió ella con un guiño.

—¿Catenarias o cicloides? —bromeó Ven.

—Pues no, guapo —respondió Mati burlona — Clotoides.

—¿Clotoides? —preguntó Sal emocionado.

—Sí, la clotoide es la curva que se suele usar en el diseño de carreteras. Es la curva de transición más suave entre la recta y la circunferencia del trazado de la curva, por ser su curvatura directamente proporcional a la distancia recorrida.

Los niños arrugaron la carita, Gauss seguía mareado…

—Veréis. En realidad es una espiral doble, se le llama también Espiral de Euler.

—¡Toma! Qué carretera más molona… —intervino Ven.

—Bueno, sólo se usa un arco de clotoide para enlazar la recta con el arco de circunferencia —dijo Mati sonriendo —Es una cuestión de seguridad, comodidad e incluso de estética. En la carretera encontramos la secuencia recta-arco de clotoide-arco de circunferencia-arco de clotoide-recta.

—Vaya… —se quejó el pequeño.

—Pero sabes, Ven —continuó ella — también se usan en las bucles de las montañas rusas, por cuestiones físicas.

—Le diremos a Fis que nos lo explique un día, pero, básicamente, es porque si se usa un bucle circular, la velocidad decrece demasiado al llegar arriba y necesita una velocidad de entrada muy grande para llegar. Eso se arregla con la clotoide.

—Me estoy mareando… —dijo Ven moviendo los ojos.

—Vamos, seguimos, que falta poco —animó Mati.

—Sí, vamos —dijo Sal —Y oye, Gauss, cuando vayamos al parque Guell no montes la misma escena que el verano pasado, ¿vale?

—¡Guauauu, gua, guauu, guau, guau! (¡Fue él el que me miró raro!)

FIN

Pues sí, el estudio de curvas y sus propiedades no sólo es interesante por si mismo sino por las propiedades tan curiosas que podéis descubrir.

Efectivamente, la cicloide es braquistócrona y tautócrona. Por si sois desconfiados como Ven, os dejo “este vídeo” en el que lo explican con ejemplos, y este enlace a una entrada de Gaussianos que habla de ella.

En cuanto a la catenaria, os dejo esta entrada de Tito Eliatron y este vídeo, en el que podéis ver como Clara se lo pasa pipa en Nueva York con una bicicleta de ruedas cuadradas. En esta entrada se explica con más detalle el funcionamiento de la bici.

Ahora os dejo, vamos a visitar Barcelona con Mamen y Raquel.

Hasta pronto

MATI

Esta capítulo de las mateaventuras de Mati fue idea de Sal.
Un día que estaba pachuchillo, mientras esperábamos en la consulta del pediatra, estuvimos leyendo sobre la cicloide y sus propiedades en un libro que nos gusta mucho El País de las Maravillas Matemáticas. Le gustó tanto que propuso “¿por qué no cuenta esto Mati para todos los niños?” Pues aquí está. De hecho, tenemos más curvas para otro día que el propio Sal ha ido recopilando y archivando porque le hacían gracia. Ya las veremos.

Feliz fin de semana.

Clara