Una constelación con 16 estrellas

—Déjame mirar a mí un poco, Sal.

—Espera que estoy buscando Orion.

—¿Cuál es Orion?

—La que parece un gigante.

—Yo no veo ningún gigante, Sal —aceptó Ven con tristeza mientras miraba con sus ojitos arrugados al cielo.

—Bueno, exactamente, no es un gigante, no creas. Mira, te la dibujo para que veas cómo es, la vi en nuestro libro de astronomía.

—¡Toma, toma, toma! ¡Se parece a Deoxys!

—¡Es verdad, Ven! Además Deoxys es un Pokemon legendario de los más poderosos y Orion era un gigante.

—¿Un gigante que vive en el cielo?

—Ven, es una leyenda, cosas de la mitología, ya sabes. No existen los gigantes, ni en el cielo, ni en la Tierra ni en Urano —dijo Sal sonriendo.

—¿Y por qué las estrellas dibujan un gigante en el cielo?

—Bueno, bueno… —Mati acababa de entrar — Las estrellas no dibujan nada en el cielo, ¿eh?. Somos nosotros, los humanos, los que tratamos de identificar formas en ellas.

—¡Hola Mati! —saludó el pequeño a la pelirroja.

—¿Cómo están mis astrónomos favoritos?

—¿Qué significan las constelaciones, Mati? —preguntó el gafotas.

—Bueno, no significan nada, aunque se han usado para orientarse desde hace mucho tiempo. Pero no es más que una muestra de la necesidad humana de encontrar patrones en el caos.

Los dos niños la miraron muy serios. Mati continuó.

—Lo que digo es que son figuras imaginarias creadas con la mente, agrupando a estrellas brillantes.

—¿Cuántas constelaciones hay , Mati?

—Ochenta y ocho, según la Unión Astronómica Internacional.

—¡Ala! —Ven estaba sorprendido.

—¿Y para qué quieren encontrar formas en las estrellas los hombres, Mati? —siguió preguntando Sal.

—Pues porque al hombre, desde siempre, le ha gustado dar nombre y clasificar las cosas. ¿Sabéis? Dos matemáticos muy famosos, Ramsey y Erdös, sostenían que el desorden completo es imposible.

—Porque no han visto mi cajón de los cromos… —dijo Ven con una sonrisa pícara.

Mati sonrió, Sal siguió pensando.

—Según estos dos matemáticos, cualquier estructura por muy desordenada y caótica que nos parezca, esconde alguna forma más pequeña, ordenada.

—No entiendo, Mati —dijo Sal, muy serio.

—Por ejemplo, pensad en el cielo estrellado —continuó la gafotas —¿cuántas estrellas necesitáis agrupar para encontrar un cuadrilátero, un polígono con cuatro lados?

Mati les mostró una pizarra llena de estrellitas. Los niños se quedaron mirando y dibujaron dos cuadriláteros, uno cada uno.

—¡Qué fácil, Mati! Siempre que elijas 4 estrellas, puedes dibujar un cuadrilátero —dijo el pequeño Ven con orgullo.

—Efectivamente, Ven. Pero me gusta mucho los cuadriláteros que habéis dibujado, porque me sirven para modificar un poco la pregunta. Fijaos en vuestras constelaciones de 4 estrellas, vamos a colorear el interior del cuadrilátero.

—El cuadrilátero azul es un convexo, mientras que el verde no lo es —dijo Mati.

—¿Con beso? ¿Qué es eso? ¿Enamorado? —preguntó Ven muy sorprendido, Gauss se quedó esperando la respuesta de la pelirroja.

—No, cielo, convexo, todo junto, con v y con x.

—¿Qué es convexo, Mati? —quiso saber Sal.

—Un polígono es convexo si al elegir dos puntos cualesquiera dentro de él, se puede pintar el segmento que los une, sin que éste, el segmento, se salga del polígono. Fijaos en vuestros polígonos, en el azul, cualquier pareja de puntos se une dentro del área azul, mientras que en el verde, puedo escoger dos puntos que no se pueden unir por dentro del área del polígono.

—Ah, claro. Entonces el azul es convexo y el verde, no —concluyó Ven.

—Muy bien, ahora la pregunta es la siguiente, ¿cuántas estrellas debemos seleccionar en el cielo para asegurar que usando líneas rectas uniéndolas por parejas, podemos dibujar un cuadrilátero convexo? Ya no vale la respuesta de 4, porque las 4 estrellas de la constelación verde no sirven para dibujar un cuadrilátero convexo…

Los niños se quedaron pensando…

—No sé, Mati, pueden estar tan desordenadas las estrellas… —aceptó Sal con resignación.

—Para simplificar la pregunta, vamos a suponer que nunca hay más de 2 estrellas en la misma recta, o sea, que en la recta que une dos estrellas, no hay nunca otra estrella diferente, ¿vale?

—¡Ni idea! —bufó Ven, mientras Sal seguía mirando la pizarra estrellada y Gauss simulaba hacer lo mismo.

—Pues, sólo 5, con 5 siempre sale —anunció Mati.

—¿Estén como estén las estrellas, Mati? —preguntó Sal mientras sus gafotas resbalaban por su naricilla.

—Estén como estén, Sal. Vamos a verlo en la pizarra.

Los niños y Gauss se sentaron enseguida en el suelo.

— Imaginaos que en vez de estrellas, son 5 puntos en un papel, y que en cada punto, colocamos una puntilla. Ahora, soltamos una goma elástica alrededor de los puntos, y nos fijamos en la forma que adopta esa goma alrededor de las puntillas. ¿Qué forma adoptará esa gomilla?

—¡Un pentágono! —gritó Ven con su entusiasmo habitual.

—O un cuadrilátero con una puntilla en el centro…—dijo, pensativo, Sal.

—¿Alguna otra posibilidad, chicos?

—¡Sí! Un triángulo con dos puntillas dentro —terminó de decir el pequeño Ven.

— Efectivamente, muchachos. Sólo hay tres posibilidades: o un triángulo, un cuadrilátero convexo, o un pentágono, también convexo.

—¡¿Por qué sabes que serán convexos?! —Sal preguntó con pasión.

—Pues, porque lo que estamos haciendo con la goma es dibujar la envolvente convexa de los 5 puntos, y siempre sale convexa. Creedme —Mati les guiñó un ojo.

Mati dibujó en su pizarra las tres posibilidades:

—Pues bien, en cualquiera de estas 3 circunstancias, es posible dibujar un cuadrilátero convexo. En el caso en el que la gomilla adopte la forma de un triángulo, basta con tomar los dos puntos internos al triángulo y dibujar la recta que pasa por ellos (la que está azul en el dibujo). Ahora, miramos en qué lado de la recta azul han quedado dos vértices del triángulo, en el otro lado, sólo quedará uno. Ya está, con esos dos vértices del triángulo y los dos puntos interiores, ya tenemos un cuadrilátero convexo.

—¡Qué chulada, Mati! —el pequeño Ven estaba entusiasmado.

—Sí, Mati, es increíble —apostilló el gafotas con una sonrisa.

—Pues este resultado de combinatoria, tiene además una historia muy bonita asociada.

—¿Nos la cuentas?

—¡Claro! Este problema lo resolvieron Esther Klein y George Szekeres, dos matemáticos húngaros, que a partir de este trabajo, se enamoraron y se casaron. Por eso, Paul Erdös le llamó El Problema del Final Feliz. Y así se le conoce.

—¡Oh, qué bonito es el amor! —Ven formó un corazón con sus bracitos por encima de su cabeza.

Gauss suspiró. Sal siguió pensando.

—Entonces, Mati, ¿con 6 puntos siempre sale un pentágono? —le preguntó de gafotas a gafotas.

—No, para asegurar un pentágono convexo necesitamos 9 puntos.

—¿Seguro? —siguió preguntando Sal mirando por encima de sus gafas.

—Seguro, Sal. La demostración de ese hecho es un pelín complicada, pero, mira, un ejemplo de 8 puntos sin ningún pentágono convexo.

—¿Y para un hexágono convexo, Mati? —preguntó Ven excitado.

—Para asegurar un hexágono convexo, se necesitan 17 puntos. Y esto lo probó Szekeres con otro colega, probando, con ayuda de ordenadores, ¡todas las posibles configuraciones de 17 puntos!

—Wow… —el gafotas estaba asombrado y contento.

—Pues sí, este pequeñito problema, el del Final Feliz, y sus consecuencias, es uno de los primeros dentro de la teoría de Ramsey, el amigo de Erdös que no creía en el desorden absoluto — Mati les guiñó un ojo — Ah, por cierto, os voy a contar un problema de Ramsey muy sencillito, el problema de la fiesta.

—¡Mola! —dijo Ven, mientras achuchaba a Gauss.

—Supongamos que en una fiesta, 6 personas son asignadas a sentarse en una mesa. Esas personas, entre ellas, o bien no se han visto nunca, o bien se han visto alguna vez. Pues, Ramsey asegura que en esa situación, o hay tres personas que se han visto mutuamente antes (cada persona de las 3 ha visto antes a las otras 2) o hay tres personas que no se habían visto nunca entre ellos.

—¿Siempre, Mati? —preguntó Sal.

—Siempre, Sal ¿Queréis que os lo demuestre?

—¡Sí! —gritaron al unísono los dos hermanos.

—Pues para ello necesitaremos colorear un grafo, ¿os suena?

—¿Claro! Como en el Teorema de los 4 colores —Ven respondió con alegría.

—Exacto, sólo que hoy vamos a colorear las aristas que unen los vértices usando sólo 2 colores. Vamos a dibujar un grafo con 6 vértices, cada uno representa a uno de los invitados a la mesa. Pues bien, si dos invitados se han visto alguna vez, la arista que los une será amarilla, y si no se han visto nunca, será verde, ¿vale? Un ejemplo sería éste, pero el número de configuraciones posibles es 32768 y no queremos dibujarlas todas…

—Pues, bien, chicos. Ya veréis. Elegimos un invitado al azar, por ejemplo, el 1. Del vértice 1 saldrán 5 aristas, una por cada uno de los 5 restantes invitados, que estarán coloreadas con amarillo o verde. Pues bien, o tiene por lo menos 3 amarillas, o por lo menos 3 verdes, porque si no, no sumarían 5 entre los dos colores.

—¿Cómo?

—Sí, Ven, si tiene como máximo 2 verdes y 2 amarillas, no tendría 5, es imposible.

—¡Toma, claro, qué tontería! —Ven se rascó el pelo.

—Esa tontería se conoce como el principio del palomar...

—¿¿Principio del palomar?? —preguntó el pequeño con la nariz arrugada.

—Sí, imagina que las aristas que salen del vértice son palomas y que tenemos que guardarlas en 2 cajas, una amarilla y otra verde. En ese caso, seguro que en una de las cajas hay 3 palomas —Mati sonrió al pequeño.

—Supongamos que, por ejemplo, en el vértice 1, hay cuatro verdes, o sea que el invitado 1, no ha visto a ninguna de esas cuatro personas nunca antes de la fiesta. Sólo necesitamos fijarnos en 3 de esos 4 invitados unidos con verde al 1 para resolver el problema.

—En nuestro ejemplo, hemos elegido a 2, 4 y 6 como vecinos verdes, desconocidos, del 1. Si alguna de las aristas 2-4, 4-6 o 6-2 es verde, hemos terminado. Porque tendríamos un triángulo formado por aristas verdes o, lo que es lo mismo, tres personas que no se habían visto mutuamente antes de las fiesta.

—Pero si ninguna de esas 3 aristas es verde, es porque las tres son amarillas…

—¡Y tenemos un triángulo amarillo, o sea, 3 personas que se conocían mutuamente antes de la fiesta! —Sal saltó de alegría mientras contaba su conclusión. Ven lo abrazó.

—¡Efectivamente! ¡Muy bien, chicos!

—Bueno, lo ha resuelto, Sal, pero yo también estoy contento —respondió el pequeño.

—¡Qué problemas tan bonitos, Mati! ¡Y qué fáciles! —el gafotas seguía alucinando,

—Bueno, bueno…Los problemas de Ramsey no son, ni mucho menos, fáciles. De hecho, el propio Erdös decía que algunos de ellos eran tan complicados que en el caso hipotético de que tuviésemos que resolverlos para evitar un ataque de alienígenas, sería mejor tratar de defenderse del ataque.

—Mati, no existen los alienígenas…—regañó cariñosamente Ven.

—Ya, cielo, era la forma que tenía Erdös para mostrar la complejidad de estos problemas.

—¡Cuéntanos otro, Mati, pro favor! —pidió Sal.

—A ver, otro de fiestas y grafos, pero no de Ramsey, mucho más fácil. Se celebra una merienda de hermanos a la que acuden 4 parejas de hermanitos. Al llegar a la merienda, se saludan unos a otros con un abrazo. Al final, Sal le pregunta a los otros 7 asistentes a la reunión a cuánta gente ha saludado y recibe 7 respuestas distintas. La pregunta es: ¿ a cuánta gente ha saludado Ven?

Los niños se pusieron a pensar muy concentrados. Gauss parecía también muy pensativo.

—A ver, chicos, para empezar, ¿cuáles fueron las 7 respuestas posibles?

— 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 —contestó rápidamente Sal.

—No, nadie saluda a 7 personas, Sal —respondió la pelirroja —Como máximo a 6, los que no venían con él, pero no a su hermano y a sí mismo, claro.

—Entonces… 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 —añadió el pequeño Ven.

—Muy bien. Vamos a dibujar un grafo con 8 vértices, Sal y los otros siete invitados. A cada uno de estos 7 le ponemos junto al vértice un númerito que indica a cuánta gente ha saludado. A ver si descubrimos quién es Ven. Si empezamos con el vértice que ha saludado a 6 personas, el del número 6, lo unimos con todos los que el saludó, uno de ellos será Sal, porque al 0 no lo saluda nadie.

—Pobre 0… —dijo Ven.

—¿Sabéis por qué el vértice 6 no ha saludado a 0? —preguntó Mati.

—Porque es su hermano y venía con él —afirmó el gafotas con satisfacción.

—Exacto, ya sabemos que el hermano de 6 es 0. Ponemos una arista verde que los una, para recordarlo. Nos fijamos ahora en el vértice 5, que ha saludado a 5 personas, una de ellas Sal, porque al 1 no lo puede saludar nadie más, si no, no tendría un 1.

—El vértice 5 no ha saludado ni a 0 ni a 1, pero sólo uno de ellos es su hermano…

—Es 1, Mati, porque 0 es hermano de 6 —interrumpió Ven a la gafotas.

—Muy bien, Ven, los unimos con una arista verde. A continuación, miramos el vértice 4, a ver si descubrimos cuál es su hermano…

Los niños dibujaron en la pizarra las dos aristas que le faltaban al vértice 4 para alcanzar ese valor.

—¡Toma, claro! Tiene que ser el 2, porque es el único que no es hermano de nadie al que no ha saludado —el pequeñajo estaba alucinando.

—Muy bien, Ven —dijo su hermano orgulloso.

—Por lo tanto…

—¡Yo he saludado a 3 personas! ¡Toma, toma, toma!

—Pues sí, el vértice 3 es Ven, que ha saludado a 3 personas —concluyó Mati.

—¡Qué guay, Mati!

—Bueno, ¿queréis que busquemos alguna constelación especial mirando a las estrellas que hace una noche preciosa?

—Sí, una con 16 estrellas, como la suma de mi edad y la de Sal.

—Eso, la llamaremos constelación Hermanos, ¿vale, Ven?

Mientras Sal y Ven decidían el nombre de su constelación de 16 estrellas, Gauss se deslizó hasta el jardín…

FIN