Y después del ocho, viene el 13

—¿Quién era Houston?
—Houston no era nadie, era la ciudad desde donde controlaban la misión.
—¿Y por qué el comandante dijo “Vale, Houston, por aquí hemos tenido un problema”?
—No fue el comandante, fue el piloto del módulo de comando, lo dice aquí —contestó Sal a su hermanito —Yo que sé, porque los astronautas hablan así, supongo.
—Pues, ¿sabes qué, Sal? Seguro que alguien pensó que falló el alunizaje porque era el 13, despegó a las 13:13 horas y se averió el día 13 de Abril, ¿no? Los que piensan que el 13 da mala suerte. —concluyó el pequeño sonriendo pícaramente.
—Eso es una superstición, Ven, nos lo explicó Mati, ¿recuerdas? Las supersticiones son mentiras.

—Efectivamente, chicos —la gafotas acaba de aparecer en el salón — Eso de que el 13 es un número que da mala suerte es una superstición bastante boba, sobre todo para dos niños tan científicos como vosotros —Mati les guiñó un ojo.
—¡Hola, Mati! Mira que libro tan bonito de Astronomía nos han regalado —dijo Ven mientras se acercaba a ella.
—Estábamos leyendo sobre el fracaso del Apolo 13 —dijo Sal.
—Bueno, fracaso exitoso, ¿no? —contestó la pelirroja —Consiguieron volver a la Tierra a pesar de las dificultades, y eso es lo más importante.
—Pues sí, es verdad.
—Y no sólo en las misiones espaciales, también en la vida. Si descubres que tu meta es inalcanzable para ti, hay que saber volver a la Tierra sano, salvo y orgulloso por haberlo intentado.

Los dos pequeños se quedaron muy pensativos mirando a Mati que acababa de pontificar, Gauss retorció el hocico mostrando su conformidad a la pelirroja.

—Pero, bueno, dejadme que os diga —continuó Mati — que el 13 no sólo no da mala suerte, ningún número la da, sino que además es uno de los afortunados que aparecen en la sucesión de Fibonacci, ¡es un suertudo!
—¿De quién? —dijeron los dos hermanos a la vez, incluso Gauss pareció fruncir el hocico al escuchar ese nombre.
—Fibonacci —repitió Mati — Aunque su verdadero nombre era Leonardo de Pisa, Fibonacci fue un matemático italiano muy famoso y brillante que, entre otras cosas, descubrió la sucesión de Fibonacci. ¿Queréis que os cuente la historia?
—¡¡Sí!! —dijeron Sal y Ven.
—¡Guauss! —dijo el perrito.
—Fibonacci planteó el siguiente pasatiempo: Vamos a criar conejos. Cada conejo tarda un mes en llegar a su edad fértil. Cada pareja de conejos en edad fértil puede parir a una pareja de conejitos cada mes. Si comenzamos con una pareja de conejos bebés (les falta un mes para ser fértiles), ¿cuántas parejas de conejos tendremos al cabo de un año?
—¡Un montón! —respondió Ven con alegría.

—Ni idea. —respondió con resignación el gafotas.

—Vamos a calcularlo, poco a poco. Después del primer mes, seguiremos teniendo sólo una pareja de conejos, pero ya fértiles, porque habrá pasado el tiempo necesario para su maduración.

—Mirad, le ponemos una etiqueta con un número 1 para identificarlos. Al cabo de otro mes, ya habrán parido una parejita de conejitos, que etiquetamos con un número 2, ¿veis?

—¿Qué pasará al cabo de un mes? —preguntó Mati a los niños.
—¿Que tendrán una parejita nueva cada una de las 2 parejas? —dijo Ven.
—No, sólo la pareja 1 podrá tener conejitos, la pareja 2 estará creciendo hasta llegar a la edad fértil. Pues bien, a la nueva pareja de hijitos de la pareja 1, les ponemos la etiqueta 3.

—¡Claro, Mati! —dijo Ven con alegría —Ya tenemos 3 parejas de conejos.
—Exacto —dijo Mati —¿Y al cabo de un mes?
—Pues que las parejas 1 y 2 tendrán hijitos y la pareja 3, habrá crecido —contestó Sal muy orgulloso.
—Efectivamente —dijo ella —Y tendríamos 5 parejas, a los nuevos hijos de 1 y 2 los etiquetaremos con 4 y 5.

—¡Toma, toma, toma! —gritó Ven con entusiasmo — ¡Y al siguiente mes, las 3 parejas marrones tendrán tres parejitas más y tendremos 8 parejitas! ¡Cómo mola!

—¡Bravo, pequeño! —dijo Mati orgullosa. Gauss parecía un poco celoso de la atención recibida por éste — A las 3 nuevas parejitas, nacidas de 1, 2 y 3, las etiquetamos con 6, 7 y 8, así:

—¡Ya lo tengo! —dijo el gafotas — Y al siguiente mes serán 13, porque hay 5 parejitas de conejos marrones que podrán tener conejitos, 5 más 8, es 13.

—¡Perfecto, Sal! Esa es la idea. Cada mes que pasa, tendremos que sumar tantas parejitas de bebés nuevas como parejas marrones tengamos, y ¿cuántas parejas marrones tenemos? Exactamente el número total de parejas que teníamos el mes anterior, porque de ésas algunas eran marrones y seguirán siéndolo, y otras eran azules y han crecido hasta ser marrones (fértlies) para poder tener hijos en el mes siguiente.

—¡Así que el siguiente mes serían 21! ¡13+8! ¡Qué fácil! —dedujo Ven con vehemencia.
—¡Eso es! —Mati acarició al pequeño, mientras Gauss se iba enfadando cada vez un poco más con las muestras de cariño de ella a Ven.

—Cada término de la sucesión de Fibonacci se calcula sumando los dos anteriores.
—¿Y qué tiene de especial esta sucesión de números, Mati? Es muy sencilla, ¿no? —quiso saber el gafotas.
—Pues mucho, Sal, porque no sólo aparece en la solución del pasatiempo de los conejos, sino que los números que aparecen en ella se pueden encontrar en la naturaleza en infinidad de ocasiones. Por ejemplo en el número de ramas de los árboles, el número de hojas en un tallo, los frutos de una piña…
—Los conejos…—interrumpió Ven.
—Bueno, el ciclo de crecimiento y reproducción de un conejo no es exactamente como lo planteó Fibonacci, pero bueno, sí en el árbol genealógico de las abejas. De hecho, os acordáis de cuando os hablé del número de oro, φ?

—Sí, el del pentagrama —contestó rápido Sal.
—Pues fijaros qué ocurre si en la sucesión de Fibonacci dividimos cada número por el anterior:

—¿Veis que todos los resultados empiezan a aparecerse mucho? Pues si siguiéramos haciéndolo muchos, muchos términos más, nos iríamos acercando cada vez más al valor de φ, el número de oro. Que, por cierto, ya sabéis que está presente en el arte y en la naturaleza.

—¡Toma, toma, toma! —Ven no pudo reprimirse y abrazar a Mati fuertemente. Gauss bufó, no le van mucho esas efusiones si no lo incluyen a él.

—Pues veréis, no sólo en la naturaleza, la sucesión de Fibonacci también aparece en muchas construcciones matemáticas, nacidas de la mente humana. Vamos a ver una de ellas, conocida como el Fractal de Fibonacci. A mí me encanta.

Los enanos se sentaron expectantes, sin reconocer ninguno de los dos que no tenían ni idea de qué era un fractal.

—Vamos a partir de un triángulo rectángulo, con un ángulo recto, isósceles, con dos lados iguales. A ese triángulo, vamos a ir borrándole trocitos, con el método que os voy a proponer.

—Trazamos la altura desde el ángulo recto en este triángulo. Obtenemos dos triángulos iguales. En uno de ellos, hacemos lo mismo. Tendremos dos mitades de ése triángulo más pequeño. Pues bien, borramos una de ellas.

— Ahora, de los triángulos que nos quedan (en naranja) elegimos el de mayor área, lo pintamos, por ejemplo, de verde.

—Repetimos la operación sobre el triángulo verde: primero la altura desde el ángulo recto, luego en una de las dos mitades y borramos uno de los triángulos pequeñitos.

—¿Me seguís?
—Sí, Mati —dijeron los dos embobados.
—Ahora elegimos, los triángulos de más área, que ahora son 2, los pintamos en verde también.

—Sobre esos triángulos verdes, ya sabéis, pintamos la altura desde el ángulo recto, luego en una de las mitades y borramos uno de los dos triangulitos.

—¿Cuántos triángulos tienen ahora mayor área?

Los niños se quedaron mirando hasta que finalmente Ven gritó:
—¡Tres!

—Uy — dramatizó Mati — Empezamos con 1, luego 1, después 2, ahora 3… Vamos a pintar los 3 grandes en verde y le volvemos a robar un trocito con el mismo método y fijaos cuántos triángulos con el mayor área tenemos en el siguiente paso de la construcción.

—¡5! —gritó Sal saltando de alegría —¡Otra vez, Fibonacci!

Mati sonrió orgullosa y siguió con su explicación.
—Al robar de nuevo un trocito a los 5 triángulos verdes cómo os he contado, nos quedan unos nuevos triángulos más grandes que serán en total…
—¡¡8!! —Gauss ladró asustado por el grito de los hermanitos.

—Y si repetimos en los 8 verdes el robo del trocito, ¿cuántos triángulos de mayor área tendremos?

—¡¡¡13!!! —Gauss esta vez ladró a la vez, tal vez porque sabía la respuesta.

—¡Toma, toma, toma! —Ven daba vueltas como celebrando un gol.

—¡Otra más, por favor, Mati! ¡Ahora toca 21! —Sal estaba alucinando.
—Ahí la lleváis —la pelirroja les guiñó un ojo.

—¡Es maravilloso, Mati! —los ojos de Sal y Ven brillaban como nunca.

—Vamos a ver cómo queda, pintando sólo los triángulos que nos quedan, eliminando las líneas que sobran.

—¡Oh! —Ven estaba extasiado —Lo voy a poner en el corcho de mi clase y le diré a todos que es el Fractal de Fibonacci.

—Podríamos repetir este proceso indefinidamente, hasta el infinito, y seguiríamos encontrando la sucesión de Fibonacci —concluyó Mati con los ojos tan brillantes como sus dos amigos.

—Mati, es chulísiimo… —el gafotas estaba extasiado.

—Espera, espera, aún hay más. Vamos a colorear los trozos que le hemos robado, usando el mismo color cuando los triángulos borrados tienen el mismo área, a ver qué pasa…¿cuántos hay del mismo color?

Los niños miraron y contaron entusiasmados los huecos del mismo color, descubriendo, de nuevo, a los números de Fibonacci.

—Es alucinante, Mati, tengo hasta ganas de llorar de la emoción…—Ven, con su vehemencia habitual, acariciaba los triángulos de colores mientras los contaba.

—Pues mirad, chicos. Se ve que a Gauss los fractales le abren el apetito…

FIN

La sucesión de Fibonacci es una de las más conocidas de la historia de las Matemáticas y podéis encontrar mucha información y curiosidades sobre ella. Si tenéis curiosidad, os recomiendo esta entrada de Sangakoo que es muy didáctica y bonita.

En cuanto al Fractal de Fibonacci construido con proyecciones ortogonales, es también conocido como el Racimo de Grossman puesto que fue George W. Grossman el que lo describió en 1997. Si queréis ver el artículo en el que lo describe y publicado por Jounal of Mathematics and the Arts, lo podéis ver aquí, aunque igual, es un pelín complicado…

¡Feliz año nuevo 2012 a todos!

¡Uy, 2012! Si sumáis las cifras, 2+0+1+2=5, 5 es otro suertudo por estar en la sucesión de Fibonacci… ;-)

MATI