El 52 no es primo

—¿Jugamos o qué, gafotas?

—Te he dicho que ahora no puedo, Ven. Tengo que terminar con esta tarea.

—Jo, ¿para qué quiero que seas mi hermano si no tienes tiempo de jugar conmigo? —protestó el pequeño con cara de ser el ser más desgraciado del planeta.

—Si quieres, puedes ayudarme con esto, Ven –propuso Sal para acabar con la agonía de su hermanito—, tengo que calcular los números más pequeños que 100 que sean primos…

—Vaya, rollo –volvió a protestar Ven –, eso no sirve para nada, ¡yo quiero jugar a los espías!

—Pues para ser un buen espía hay que saber mucho de números primos –Mati acababa de llegar.

—Hola, Mati –la saludó Sal.

—Hola, Mati –dijo Ven con su voz penosa mientras Gauss resoplaba con alivio –Los espías no necesitan saber nada de mates.

—Huy, te equivocas, Ven –dijo ella –. Una de las misiones de los espías es descifrar mensajes cifrados y las mejores técnicas de cifrados de mensajes usan un sistema basado en números primos con muchas mates.

—Ya no me acuerdo de que era un número primo… —masculló Ven.

—*Un número natural es primo* —le contó la pelirroja – si es mayor que 1 y solo se puede dividir (con división exacta) por él mismo y por el 1. Por ejemplo, el 2, o el 3, o el 5…

—Ah, es verdad –aceptó Ven.

—Estamos estudiando los números primos en clase, Mati –intervino Sal –, hoy tengo que calcular todos los primos menores que 100 con la criba de Eratóstenes.

—Muy bien –dijo ella –, podemos hacerlo los 3 juntos.

Gauss protestó un poco pero sin entusiasmo; al fin y al cabo, el haber sido excluido de esa tarea le daba margen a una pequeña siesta. Posiblemente la mascota ignoraba lo que fascinaban los números primos a aquel matemático pro el que se lleva su nombre.

—¿Cómo? —preguntó Ven.

—Escribiremos en una tabla todos los números naturales (los que sirven para contar) del 2 al 100 –dijo Mati –. No ponemos el 1 porque el 1 ya sabemos que no es primo.

—Ahora –les dijo –, marcamos de verde el 2, que es el primer primo que encontramos y marcamos de amarillo todos los múltiplos de 2, que no serán primos porque se pueden dividir por 2.

—Los múltiplos de 2 son los pares –dijo Ven.

—Eso es –confirmó la gafotas –. El siguiente primo, es el 3, que es el primer número que aparace en nuestra tabla sin colorear: lo pintamos de verde. A los múltiplos de 3 los pintamos de amarillo también, porque no serán primos.

—Algunos múltiplos de 3 ya están marcados, Mati –dijo el pequeño.

—Claro –dijo el gafotas –, esos son los múltiplos de 6, porque serán múltiplos de 2 y de 3.

—¿Ahora con el 5, Mati? —preguntó Ven.

—Efectivamente –confirmó ella –, pintamos el 5 de verde y sus múltiplos de amarillo.

—Los múltiplos de 5 son muy fáciles de reconocer –dijo Ven con una sonrisa –: son los que acaban en 5 y en 0, y como los que acaban en 0 son pares, ya están marcados.

—Muy bien, Ven –dijo Mati mientras le alborotaba el pelo.

—Ahora, 7 y sus múltiplos –continuó el pequeño emocionado –: ¡toma verde para el 7 y amarillo para sus múltiplos!

—Y ya está –anunció solemne Sal–, ya todos los que quedan son primos.

—¿Cómo lo sabes, gafotas? —preguntó su hermano desconfiado.

—Pues porque el primer múltiplo de 11, por ejemplo –respondió el aludido –, que no es múltiplo de ninguno de los primos anteriores es el 121 que nos está en la tabla. Y así, con los demás también: los múltiplos de los que quedan que no son múltiplos de 2, 3, 5 o 7, ya son mayores que 100.

—Eso es –corroboró Mati –, ya todos los que quedan son primos.

—Mola… —dijo Ven mirando la tabla que habían hecho.

—¿Y cómo usan los espías los primos, Mati? —preguntó Sal curioso.

—Bueno, no exactamente o no solamente los espías –dijo ella –. Los primos se utilizan para codificar mensajes usando un método, que se conoce como RSA, que usa unas claves basadas en números primos, pero muy, muy grandes. Es el método que ha usado, por ejemplo, Edward Snowden, el espía de la NSA, para delatar a dicha agencia sin que ellos, los de la NSA, pudieran descifrarlo.

—No entiendo… —protestó Ven.

—Mira, Ven –siguió Mati –, multiplicar dos números primos es una operación muy sencilla, sin embargo, si nos dan un número del cual sabemos que es el producto de dos primos, descomponer dicho número para encontrar los dos primos que están escondidos en él es una operación muy complicada…

—Para eso habría que factorizar el primo que te dan en producto de primos, ¿no, Mati? —dijo Sal – Es lo que estamos haciendo ahora en nuestra clase, aprender a factorizar en números primos.

—Y eso, ¿¿cómo se hace?? —preguntó Ven despavorido.

—Por ejemplo–explicó Sal –, si te dicen que factorices 315, tienes que ver cuáles son sus divisores, empezando por los más pequeños, ¿el 2 es divisor de 315, Ven? ¿Se puede dividir 315 entre 2?

—Hombre, no –dijo el pequeño –, 315 no es par.

—Muy bien –siguió el gafotas en plan didáctico –, ¿y 315 es divisible por 3?

—No lo sé –dijo Ven –, voy a buscar un papel para hacerlo.

—No hace falta, Ven –dijo Sal –. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras nos da un múltiplo de 3. ¿Cuánto suman las cifras de 315?

–A ver, 3 más 1 más 5… 9 –dijo Ven –, que es múltiplo de 3.

—Por lo tanto –siguió Sal –, 315 es divisible por 3. Lo dividimos.

Ven trajo un cuaderno e hizo la división; es muy bueno dividiendo por una cifra.

—Me sale 105, Sal –dijo finalmente.

—Muy bien –dijo Sal –, ahora sabemos que 315 es igual que 105 por 3. Ahora continuamos con 105, pero desde el primer primo, ¿105 es divisible por 2?

—Por 2, no –respondió Ven –, pero por 3 sí, porque sus cifras suman 6. ¿Hago la división?

Sal afirmó con la cabeza. Gauss ladró, nadie sabe por qué. Mati sonreía mirando a sus amigos.

—Me da 35, Sal –dijo Ven.

—Muy bien –continuó este –, ya sabemos que 315 es igual que 3 × 3 × 35. Ahora, lo hacemos con el 35, ¿es divisible por 2?

—No –respondió Ven –, ni por 3, porque sus cifras suman 8.

—Eso es —dijo el gafotas –, el siguiente primo es 5, ¿es divisible por 5?

—¡Sí! —dijo Ven –Porque termina en 5, y los múltiplos de 5 son los que acaban en 0 o en 5.

—Muy bien, Ven –dijo su hermano mientras arrugaba la nariz para subirse las gafas.

—Si divido 35 por 5 –continuó Ven –sale 7, que ya es primo.

—Ea, pues ya hemos terminado –dijo Sal –315 es 3 × 3 × 5 × 7.

—Muy chulo –dijo el pequeño –, pero esto, ¿pasa qué sirve?

—Pues, por ejemplo –dijo Sal – para saber si dos números son primos entre sí. Si no tienen ningún divisor primo en común, se dice que 2 números son primos.

—Tienes razón, Sal –intervino Mati –, pero para saber si dos números son primos entre sí no es necesario factorizar, basta con calcular el máximo común divisor de esos 2 números. Si el máximo común divisor de 2 números es 1, se dice que son primos entre sí, o primos relativos, aunque ninguno de los 2 sea primo por sí mismo. Por ejemplo, 15 y 8 son primos relativos porque no tienen ningún divisor en común, pero ninguno de los 2 es un número primo.

—Y para calcular el máximo común divisor de 2 números, ¿no hay que factorizar en factores primos? —preguntó el gafotas extrañado.

—No –respondió la pelirroja –basta con aplicar el algoritmo de Euclides.

—Ah, sí, me suena –dijo el gafotas —¿Cómo era?

—A ver –dijo Mati –, vamos a calcular el máximo común divisor de 9876 y 3321 sin factorizar, con el algoritmo de Euclides. Dividimos el mayor entre el más pequeño y nos fijamos en el resto.

—Ahora –siguió Mati –, dividimos el divisor 3321 entre el resto, 3234. De nuevo, nos fijamos en el resto:

—Ya me acuerdo –dijo Sal –, ahora el divisor 3234 entre 87, ¿no?

—Ajá –confirmó ella.

—Yo, yo –dijo Ven –. Ahora 87 dividido entre 15, ¿verdad?

—Eso es –dijo Mati.

—Y ahora –siguió Ven –, dividimos 15 entre 12…

—Y 12 entre 4… —dijo Sal –, y ya nos sale 0 en el resto, Mati.

—Pues, ya está –dijo ella –, el máximo común divisor de 9876 y 3321 es el último resto distinto de 0, o sea 3.

—Es muy chulo, Mati –dijo Sal –, y sin factorizar…

—Efectivamente, Sal –añadió ella –, y teniendo el máximo común divisor, ya tenemos el mínimo común múltiplo:

—Pues así parece más fácil que factorizando, Mati –dijo el gafotas.

—Sí, sobre todo –dijo esta con un guiño –si tenemos que calcular el máximo común divisor entre 126816 y 147952.

—Así que los espías saben muchas mates en realidad… –dijo el pequeño Ven con la mirada perdida en algún rincón del mundo.

—El que parece que no entiende muy bien para qué sirve el pinganillo de espía –interrumpió el gafotas muerto de la risa – ¡es nuestro Gauss!

FIN

Pues sí, como nos ha contado Mati, el ‘secreto’ para codificar mensajes y que no puedan ser descifrados por quien no queremos, consiste en usar primos muy grandes en las claves. Porque si tenemos, por ejemplo, 999809 y 404081, ambos primos, es muy fácil obtener el producto de ambos. Pero si lo que nos dan es el 404003820529 y, para descifrar la clave, necesitamos descomponer este número en producto de 2 primos, tendríamos, en principio, aunque hay métodos más sofisticados, que probar con todos los primos hasta encontrar el primero de los números que lo divide (en este caso 404081). Esta dificultad en factorizar números muy grandes, hace que, por ejemplo, podamos comprar de forma segura en internet.

En este capítulo de Mati, se ha hablado de múltiplos, divisores, máximo común divisor, mínimo común múltiplo… Os dejo el enlace a algunas entradas relacionadas de nuestro blog Mati, una profesora muy particular que os pueden ayudar si no entendéis algo de esta entrada:

¿Son o no son primos? Se explica (también) el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de 2 números.

El ‘más menor’ de los múltiplos y el ‘más mayor’ de los divisores Sobre máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

¿Y si hacemos bolsas de 7 canicas? Se explican los criterios para saber si un número es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9 o 10. Muy chulo el método para ‘detectar’ a los múltiplos de 7 :)

Una de camellos Un acertijjo con fracciones y divisibilidad.

¡Más fracciones! Sobre suma de fracciones y el uso del mínimo común múltiplo.

Ah, este capítulo está dedicado a mi hijo Salvador y a sus compañeros de 1º de ESO porque fue él quien me pidió que escribiera sobre este tema que están dando esta semana en clase :)

¡Hasta pronto!

Clara