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Mati y sus mateaventuras, por Clara Grima Ruiz y Raquel Garcia Ulldemolins

Me llamo Matemáticas, pero todos me llaman Mati, se ve que les da menos miedo y les gusta más. Aunque no me veas, estoy en todas partes y te puedo explicar el porqué de muchas cosas que están a tu alrededor. ¿Me acompañas? Tengo dos amigos muy curiosos, Sal y Ven, son hermanos y dueños de Gauss, el perro más listo de todos los perros. Estos dos amiguitos siempre están preguntando cosas y vendrán con nosotros en nuestras aventuras. Las mates de estas historias son cosa de Clara y los dibujos los hace Raquel.

Y ahora también podéis seguirnos en Mati, una profesora muy particular

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49 saltos de saltamontes

Clara Grima Ruíz y Raquel Garcia Ulldemolins | 27 julio 2013

—¿Has anotado lo de las patas, Ven?

—Sí, gafotas, he anotado todo –refunfuñó el pequeño –. Pero ¿no deberías apuntar tú algo?

—Yo soy el que está observando, ¿recuerdas?

—Tú eres un carota –protestó Ven –. Si quieres hacer como Calpurnia, deberías anotar tú tus observaciones, ¿no te parece?

—Pero tú escribes más rápido –de defendió Sal –, y si me paro a escribir, se escapa el saltamontes.

—Lo dicho, Sal –sentenció su hermano –, eres un carota.

—¿Qué, chicos? —Mati se acercó a los niños – ¿Escribiendo un cuaderno como el de Calpurnia Tate?

—Eso es, Mati –contestó Sal.

—De eso nada, Sal –protestó Ven –. Yo estoy escribiendo el cuaderno, tú solo estás mirando, mirando y mirando embobado al saltamontes.

—De eso se trata, Ven –dijo el gafotas –. Antes de concluir algo, hay que observar muy bien.

—Pero es que yo también tengo ojos en la cara, ¿sabes? —respondió Ven –. Yo también puedo mirar y observar al saltamontes, pero tú me tienes de sirviente escribiendo todo el rato para no tener que escribir tú…

—Bueno, bueno, bueno –terció Mati –, no nos enfademos, chicos. Se me ocurre una idea: como tenemos papel, lápiz y un saltamontes, os puedo explicar un acertijo matemático muy curioso sobre saltos de saltamontes.

—¿Sí? ¿Cuál? —preguntó el pequeño un poco desconfiado.

—¿Y si se va este saltamontes, Mati? —preguntó Sal.

—No pasa nada –dijo ella –,, buscaremos otros después. ¿Os lo cuento?

—Venga –aceptó el pequeño.

—Se trata de dibujar un línea que tenga longitud natural –les dijo –, es decir, longitud 1, 2, 3, 4… cualquier número natural que queráis. Un saltamontes tiene que dar, sin salir de la línea y empezando por uno de los extremos de la misma (le llamaremos I a ese extremo, de inicio), tantos saltos como indique el número que mide la longitud de la línea. Pero esos saltos irán aumentando su longitud 1 a 1, comenzando con un salto de longitud 1, luego uno de longitud 2, después de longitud 3… y así, sucesivamente, hasta que dé un salto de la longitud total de la línea. Eso sí, los saltos pueden ser hacia adelante o hacia detrás, siempre que no salgan, como hemos dicho antes, de la línea original.

—No entiendo muy bien, Mati –interrumpió Ven.

—Vamos a verlo con un dibujo –propuso la pelirroja –. Si la línea tiene longitud 1, hay que dar solo un salto de longitud 1. Si la línea tiene longitud 2 hay que dar 2 saltos: el primero de longitud 1 y el segundo de longitud 2. Si la línea tiene longitud 3, hay que dar 3 saltos: el primero de longitud 1, el segundo de longitud 2 y el tercero de longitud 3. Y así, sucesivamente. Llamaremos I al punto inicial y F al punto final.

—La pregunta es –continuó ella –: ¿cuándo se puede terminar en el punto F siguiendo esta regla? ¿Para qué valores se consigue?

—Con longitud 1, fácilmente –apostilló Sal.

—Efectivamente –dijo Mati.

—Con 2 no se puede, ¿verdad, Mati? —preguntó el pequeño –Porque no se puede dar el segundo salto, ¿no?

—Eso es, Ven –dijo esta –.Muy bien.

—Y con longitud 3… —comenzó a decir el pequeño –, el primer salto tiene que ser hacia adelante siempre…

–… el segundo salto –continuó Ven –debe ser hacia adelante también…

–… y el tercero –concluyó –tiene que ser, necesariamente, hacia atrás y no termina en F. Pues vaya, no se puede.

—Pero –dijo Sal de pronto muy entusiasmado – ¡con 4 sí que sale! ¿Verdad, Mati?

—Sí, señor –dijo ella –. Porque el primero es hacia adelante, el segundo también, el tercero hacia atrás, llegamos al punto de inicio, y con el salto final, que tiene la longitud de la línea, llegamos a F.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —exclamó Ven.

—Es chulísimo, Mati –dijo Sal.

—Ya os dije que era muy entretenido –añadió ella guiñándoles un ojo.

—Vamos a ver con 5 –propuso Ven y se puso manos a la obra.

Al cabo de unos segundos, dijo un poco desilusionado:

—Con 5 tampoco sale, vaya. No se puede dar el último salto.

—Os dejo un rato, a ver si encontráis el siguiente número natural para el que el problema tiene solución –les dijo.

Los niños se pusieron manos a la obra. Bueno, en realidad, fue Ven el que pintó las líneas y los saltos, Sal se limitó a dar sugerencias. Gauss estaba persiguiendo al saltamontes por el campo.

—¿Ya no sale hasta el 9, Mati? —preguntó Ven con la cara arrugada.

—Ajá, eso es –confirmó ella.

—O sea –especuló el pequeño –, que solo sale con cuadrados perfectos, ¿no? Como 1 es el cuadrado de 1, 4 es el cuadrado de 2 y 9 es el cuadrado de 3…

—Muy buena observación, Ven –dijo Mati –, pero no, no es esa la regla.

—¿Cuál es el siguiente, entonces? —preguntó Sal.

—Eso os lo voy a dejar como ejercicio a vosotros y a nuestros amigos lectores –respondió Mati –. Esta es nuestra última aventura hasta Septiembre, así que invitamos a nuestros amigos a encontrar todas las soluciones posibles para líneas de hasta 20 unidades de longitud, y que nos lo cuenten en los comentarios de este capítulo.

—¡Mola! —dijo el pequeño y añadió con cara de pillo – Así, si a nosotros no nos salen, se lo copiamos a ellos.

—¿Por qué solo hasta 20, Mati? —preguntó Sal.

—Bueno –dijo ella –porque si no puede ser muy largo, ¿no? Este juego es muy entretenido para que se lo propongáis a vuestra familia o a los amiguitos que conozcáis en las vacaciones.

—¡Vale! —exclamó Ven.

—Y os contaré un secreto, ¿vale? —añadió ella con voz misteriosa –Para 20 y números mayores que 20, me han contado que el problema tiene solución si la longitud de la línea es un número tal que al dividirlo por 4, da como resto 0 o 1.

Los niños se quedaron pensando un instante, Sal dijo de pronto:

—O sea, que con 20 se puede.

—Ajá –dijo Mati.

—Toma, y con 21 –añadió Ven –, porque al dividir 21 entre 4 nos queda de resto 1.

—Eso es –dijo ella.

—Y con 24, y con 25… —siguió el gafotas.

—¡Muy bien! —exclamó la pelirroja –Veo que lo habéis entendido.

—¿Seguimos buscando bichos, Ven? —preguntó Sal.

—Vale –dijo este –, pero ahora escribes tú, ¿eh?

FIN

Pues sí, nos vamos de vacaciones hasta septiembre. Esperamos vuestras respuestas en los comentarios, ¿para qué números entre el 9 y el 19 tiene solución el problema del saltamontes?

Hasta que volvamos a vernos, esperamos que disfrutéis mucho de las vacaciones, que descanséis y ahora que tenéis menos tarea, aprovechad para decirle a la gente que queréis, eso, que las queréis.

Hasta pronto

MATI


Comentarios

  1. Antonio Galán [jul 28, 03:05]

    El saltamontes podrá saltar con longitud 9, 10, 11, 12 y 13, hasta el 19 ya no hay solución, la siguiente solución es de longitud 27.
    Veamos la regla que sigue.

    Un saltamontes se queda en un punto de longitud n tras realizar un salto de dicha longitud, por tanto el siguiente salto lo tendrá que realizar cuando haya longitud 2n+1 y será un salto de longitud n+1, visto de otro modo mas intuitivo, cuando la longitud sea de n + (n+1) ahí podrá realizar un salto hacía atrás de n+2 y hacía adelante cuando la longitud sea de n + (n+2) el salto será de longitud n+3 (n+2+1) ese 1 lo ha ganado al realizar el salto hacía atrás. Eso acaba cuando el salto que realice hacía delate lo haga desde el punto 0, pues no puede realizar mas saltos hacía atrás, el salto previo que ha dado hacía atrás es de longitud n + (n + n) y cuando lo de hacía delante lo será de (n + n + n) + 1 es decir de 3n+1, a partir de ahí no podrá saltar mas hasta que la longitud se duplique y aumente en 1, es decir hasta que la longitud sea 6n + 3.

    El primer es del punto 0 a 1, el segundo es de 1 a 3 y el tercero de 3 a 0. El cuarto es de 0 a 4 y aquí acaba hasta 9. Si usamos lo deducido anteriormente con n=0 para el primer salto y n=1 para el resto se obtienen estos resultados.

    En definitiva
    El primer número que implica salto es 2n+1
    El que indica el último número que implica salto es 3n+1
    Y el siguiente número que implica salto es 6n+3 (congruente con el primer número, 2*(2n+1))

    Sin embargo tenemos que curiosamente n no se puede ir sustituyendo por números naturales (1,2,3,4,5…) si no que…
    n=0 => 1
    n=1 => 3,4
    n=4 =>9,10,11,12,13
    n=13 =>27,28,29…40
    n=40 =>81,….,121 (3*40+1)

    Haciendo esta observación vemos que la siguiente n debe ser el último número de la serie anterior de números. Y ¿que ocurre con los primeros números de cada serie?
    1,3,9,27,81… 3^0, 3^1, 3^2…
    Si lo generalizamos con 3^m y en este caso m si son los naturales, y despejamos en la ecuación 2n+1=3^m
    Tenemos que n= (3^m – 1)/2

    Sustituyendo en las ecuaciones tenemos que, cada serie de números con salto empieza en 3^m y acaba en (3^(m+1) – 1)/2 (solución de sustituir n en 3n+1)
    Siendo m números naturales incluyendo el 0, se obtienen todas las longitudes en las cuales el saltamontes puede seguir saltando.

  2. J.J. [jul 31, 07:30]

    No estoy de acuerdo con Antonio Galán, con un rápido algoritmo de búsqueda se puede ver como no se encuentran soluciones para 3,10,11,12,19 o 27. Tal y como afirma Mati a partir de 20 el algoritmo es que x sea congruente con 0 o 1 modulo 4, asi de simple. Por debajo de 20 tenemos los valores: 4,9,13 y 16. Tomando los saltos hacia delante como numeros positivos y los saltos hacia atras como números negativos, las longitudes n en las que podrá saltar el saltamontes son en las que la suma de la secuencia de saltos de n sin pasar las sumas intermedias por valores negativos o superiores a n.
    De esta forma se hallan las siguientes soluciones:
    4 = [1, 2, -3, 4]
    9 = [1, 2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, 9]
    13 = [1, 2, -3, 4, 5, -6, 7, -8, 9, -10, 11, -12, 13]
    16 = [1, 2, 3, 4, -5, 6, -7, 8, -9, 10, -11, 12, -13, 14, -15, 16]
    20 = [1, 2, 3, -4, 5, 6, -7, 8, -9, 10, -11, 12, -13, 14, -15, 16, -17, 18, -19, 20]
    21 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, -7, -8, 9, -10, 11, -12, 13, -14, 15, -16, 17, -18, 19, -20, 21]
    24 = [1, 2, 3, -4, 5, -6, 7, 8, -9, 10, -11, 12, -13, 14, -15, 16, -17, 18, -19, 20, -21, 22, -23, 24]
    24 = [1, 2, -3, 4, 5, 6, -7, 8, -9, 10, -11, 12, -13, 14, -15, 16, -17, 18, -19, 20, -21, 22, -23, 24]
    25 = [1, 2, 3, 4, 5, -6, 7, -8, 9, -10, 11, -12, 13, -14, 15, -16, 17, -18, 19, -20, 21, -22, 23, -24, 25]
    28 = [1, 2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, 9, 10, -11, 12, -13, 14, -15, 16, -17, 18, -19, 20, -21, 22, -23, 24, -25, 26, -27, 28]
    28 = [1, 2, -3, 4, 5, 6, -7, -8, 9, 10, -11, 12, -13, 14, -15, 16, -17, 18, -19, 20, -21, 22, -23, 24, -25, 26, -27, 28]
    28 = [1, 2, -3, 4, 5, -6, 7, 8, -9, 10, -11, 12, -13, 14, -15, 16, -17, 18, -19, 20, -21, 22, -23, 24, -25, 26, -27, 28]
    29 = [1, 2, 3, 4, 5, -6, -7, 8, 9, -10, 11, -12, 13, -14, 15, -16, 17, -18, 19, -20, 21, -22, 23, -24, 25, -26, 27, -28, 29]
    29 = [1, 2, 3, 4, -5, 6, 7, -8, 9, -10, 11, -12, 13, -14, 15, -16, 17, -18, 19, -20, 21, -22, 23, -24, 25, -26, 27, -28, 29]
    29 = [1, 2, 3, -4, 5, 6, 7, 8, -9, -10, 11, -12, 13, -14, 15, -16, 17, -18, 19, -20, 21, -22, 23, -24, 25, -26, 27, -28, 29]

    A partir del 33 los números empiezan a tener bastantes combinaciones posibles, el 37 tiene 11 y el 60 tiene 434 formas distintas de saltar el saltamontes, una autentica barbaridad. Como siempre un articulo estupendo :)

  3. Antonio Galán [ago 3, 04:08]

    Buenas J.J. Creo que en ese caso he malinterpretado el problema, las soluciones que doy son las longitudes en las cuales el saltamontes puede continuar saltando aunque aumente el número de saltos que de (por ejemplo, el 2 no es solución porque al aumentar a 2 no hay salto posible, al aumentar a 3 si hay salto, al aumentar a 4 también, al aumentar a 5 no, etc) No leí bien el primer párrafo del problema.

  4. Cristian [sep 12, 18:04]

    Hola, genial la web!!
    Me he creado hace poco un blog sobre ciencias y matemáticas para educación secundaria.
    Si alguien le echa un ojo y me comenta….se lo agradezco mucho!
    Por ahora esta en catalán..
    http://lallimonadenewton.wordpress.com/
    Gracias!
    Cristian Obiol-Pardo

  5. MARIA [sep 30, 21:34]

    Hola , hemos estado en Naukas (Bilbao) en las jornadas que han organizado. La charla/clase ha estado genial!!!, Gracias.
    Estoy buscando las tarjetas para imprimirlas y así sorprender a familiares y amigos y no las encuentro. Era en código binario?
    Gracias anticipas

  6. Andrea Márquez [jun 9, 17:30]

    Hola, que bueno está tu sitio web, creo que serviría de mucha ayuda a estudiantes de varios niveles. Gracias por compartir.

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