¿Y si lanzas la moneda más de 48 veces?

—¿Seguro que se gana siempre, Sal?

—Eso dice aquí –dijo Sal –. Solo tienes que saber cuál es la combinación que le gana a la que elija el primer jugador.

—¿Como en los dados no transitivos? —siguió preguntando Ven.

—Creo que sí –dijo el gafotas –, se parece mucho a lo de los dados transitivos. Aunque, claro, es un poco más difícil de recordar, porque el primer jugador tiene 8 posibles elecciones, y en los dados solo 3…

—¡Mola! —exclamó el pequeño —¡Qué ganas de volver al cole para ganarles a todos!

—Bueno, Ven –interrumpió el mayor –, no es seguro, ¿eh? Solo que tienes más probabilidades de ganar…

—¡Pero, me acabas de decir que era seguro, Sal! —protestó el pequeño.

—¿Qué es lo que es seguro, chicos? —Mati acababa de llegar.

—Hola, Mati –saludó Sal.

—Hola, Mati –dijo Ven –. El juego de las monedas de Gaussianos.

—¿Cuál es el juego de las monedas de Gaussianos, chicos? —preguntó ella –¿Os referís a nuestro Gaussianos, a Miguel Ángel?

—Sí, Mati –dijo Sal –, el mismo. Papá nos dijo que leyéramos esta entrada de su blog

Mati se acercó a ver la pantalla y dijo:

—¡ Ah, sí! El juego de Penney. A mí también me ha gustado mucho esa entrada, es realmente curiosa.

—Pero Sal dice que no es seguro ganar siempre aunque escojas la mejor combinación –añadió Ven.

—Y tiene razón, Ven –respondió ella –, pero tienes siempre más probabilidades.

—No me entero –aceptó el pequeño arrugando la carita –, ¿me lo explicas?

—Claro –dijo Mati –. Vamos a verlo mientras jugamos una partida, ¿vale? ¿Tenéis una moneda?

—Sí –dijo Ven inmediatamente y fue a buscar su hucha.

—En el juego de Penney de lo que se trata es de elegir uno de los posibles resultados que se obtienen al lanzar una moneda 3 veces.

Los niños asintieron con la cabeza. Gauss también. Es un perro presumido.

—Vamos a ver cuántos son los posibles resultados al lanzar 3 veces una moneda –les propuso –. Escribiremos todas las posibilidades en la pizarra.

—Hay 8 posibles resultados, Mati –concluyó Sal.

—Eso es, Sal –dijo ella –. Eso significa que la probabilidad de obtener cualquiera de ella al realizar 3 lanzamientos consecutivos es de 1/8.

Los niños asintieron de nuevo. Gauss también. Ven lo miró por el rabillo del ojo.

—Pues bien –continuó la pelirroja –, el juego de Penney es para 2 jugadores, y consiste en que cada jugador elija uno de esos 8 posibles resultados. Se lanza la moneda y se va anotando la sucesión de resultados obtenidos. En el momento en que aparezca uno de los resultados elegidos por uno de los jugadores, ese será el ganador.

—¿Hacemos una prueba? —propuso Ven con entusiasmo.

—¡Vale! —aceptó su hermano –Yo me pido (X, C, X)

—Hum… —Ven se quedó pensativo –… yo me pido (C, C, X)

–Vamos a lanzar la moneda y apuntar lo que va saliendo –propuso Mati.

X, X, C, C, X…

—¡Gané! ¡Gané! —gritó Ven —¡Ya ha salido (C,C,X)!

—Muy bien, Ven –lo felicitó Mati –. Has escogido muy bien tu apuesta, porque has elegido una combinación con más probabilidad de salir.

—Eso es lo que no entiendo de lo que hemos leído, Mati –dijo Sal – ¿No tienen todas las mismas probabilidades?

—Todas las combinaciones tienen probabilidad 1/8 de salir si lanzamos la moneda 3 veces –respondió ella –, pero no es así el juego de Penney. En el juego de Penney no todas las combinaciones tienen las mismas probabilidades.

—No me entero –volvió a decir Ven.

—Vamos a verlo con un ejemplo sencillito –les propuso –. Supongamos que Sal elige la combinación (C,C,C) y tú eliges la combinación (X, C, C) . En ese caso, tú tienes mucha más probabilidad de ganar…

—¿Por qué, Mati? —preguntó el gafotas de repente.

—Pues porque para que tú ganes con (C, C, C) –dijo ella –, la única opción que tienes es que salgan las 3 primeras veces cara, en otro caso, gana Ven con (X, C, C)* .

—¿Cómo lo sabes? —preguntó Ven con los ojos como platos.

—Veréis, en el momento en el que salga una X –les dijo –, si después salen 2 caras, ya gana Ven. No hay opción para que le gane antes Sal.

—Toma… —exclamó Ven –, es verdad.

—Por lo tanto –continuó Mati –, Sal solo gana si en los 3 primeros lanzamientos sale (C, C, C) y eso, como acabamos de ver, tiene una probabilidad de 1/8. En el resto de los casos, o sea, con probabilidad 7/8, ganaría Ven.

—¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! —gritó Ven.

—Es un juego muy interesante –continuó la pelirroja –. yo no lo conocía hasta que lo leí en Gaussianos. Además, ¿os acordáis de los dados no transitivos?

—Sí, sí –contestó Sal –, lo dijimos antes que se parecía a los dados no transitivos, ¿no? Porque escoja la combinación que escoja el primero, siempre hay que le gana, como con los dados.

—Y como en piedra, papel y tijeras –puntualizó Ven.

—Efectivamente –confirmó ella –, el juego de Penney es no transitivo y, por eso, siempre hay estrategia ganadora para el segundo, con una probabilidad alta. En el ejemplo que os acabo de contar, la combinación (X, C, C) tiene 7 veces más probabilidades de salir que la (C, C, C) , y eso es mucho.

—¿Y cómo se sabe qué estrategia le gana a la que elige el primero? —preguntó el gafotas.

—Hay un truco muy sencillo —dijo Mati –, también se cuenta en la entrada de Miguel Ángel. Una vez que el primero ha elegido su combinación, por ejemplo, (X, C, C) , el segundo tendrá más probabilidades si elige como primer símbolo el contrario del segundo símbolo del primer jugador, en este caso, X . Ahora como siguientes símbolos, el segundo jugador escoge el primero y el segundo del primer jugador, en este caso X y C. O sea, que elegiría (X, X, C) ¿Os atrevéis a calcular con este truco las jugadas del segundo jugador con más probabilidad dependiendo de la elección del primer jugador?

—¡Sí! —dijeron los hermanos al unísono y se pusieron a escribir en la pizarra de Mati.

—¡Es chulísimo, Mati! —dijo Ven.

—Me encanta… —añadió Sal –, pero, Mati, si no escogemos la combinación que nos sale con este truco que acabamos de ver, ¿qué pasaría?

—Pues depende de la combinación que escojáis –dijo Mati –, podemos verlo en esta tabla de probabilidades:

—En esta tabla aparecen las probabilidades de que gane el jugador 2 –les dijo –, si elige las distintas opciones después de que haya elegido el jugador 1. Hemos resaltado en amarillo la mejor de las jugadas en cada caso. Si al escoger Sal (C, C, C) , Ven elige (X, C, X) , este, Ven, tiene probabilidad 7/12 de ganar a Sal, pero si escoge (X, C, C) tiene 7/8, que es mucho mejor, es la mejor opción.

—Es chulísimo… —Sal estaba emocionado.

—Pienso ganarles a todos mis amigos –dijo Ven –, ¡la voy a petar! ¡Seguro!

—Bueno, bueno, Ven –dijo ella –, ganarás con una alta probabilidad, pero no seguro, ¿eh?

—Vaaaaaaaaaaaale –aceptó el pequeño pensando en la cara de sus amigos cuando volviera al cole.

—Mati, ¿veremos este verano a Gaussianos y a Mamen? —preguntó Sal.

—Eso espero, porque sé de uno que tiene entre sus mejores tesoros una foto con ellos…

FIN

Pues sí, hace unos días descubrí este juego en una entrada de Gaussianos para el Cuaderno de Cultura Científica y me gustó mucho. Es por eso por lo que hemos querido contarlo para nuestros amigos más jovencitos. Es un juego muy divertido y barato, solo necesitamos una moneda. Además, como conocéis la estrategia ganadora, podéis usarlo para apostar un helado con el abuelo o con tu tía. Eso sí, tenéis que conseguir que ellos elijan primero, que sean el jugador 1. Pero eso es fácil, poned cara de ser muy amables y decid algo así como: “ Empieza tú, abuela, por favor, que eres la más guapa y la más lista”.

Ya nos contaréis cuántos helados habéis conseguido gracias a Penney.

¡Disfrutad del verano y de las vacaciones!

MATI