Pequeño LdN


Mati y sus mateaventuras, por Clara Grima Ruiz y Raquel Garcia Ulldemolins

Me llamo Matemáticas, pero todos me llaman Mati, se ve que les da menos miedo y les gusta más. Aunque no me veas, estoy en todas partes y te puedo explicar el porqué de muchas cosas que están a tu alrededor. ¿Me acompañas? Tengo dos amigos muy curiosos, Sal y Ven, son hermanos y dueños de Gauss, el perro más listo de todos los perros. Estos dos amiguitos siempre están preguntando cosas y vendrán con nosotros en nuestras aventuras. Las mates de estas historias son cosa de Clara y los dibujos los hace Raquel.

Y ahora también podéis seguirnos en Mati, una profesora muy particular

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7 puentes para un solo paseo

Clara Grima Ruíz y Raquel Garcia Ulldemolins | 1 octubre 2011

—¿Falta mucho, Mati? Estoy cansado…

Ven casi no puede andar después de pasar el día en el parque de atracciones.

—Yo no puedo más… —añadió Sal que casi ya no podía con sus gafitas, mientras agarraba a su loro al que habían decidido llamarle Fermat porque hablar, no había demostrado que pudiese hablar.

—Sólo hay que cruzar el puente y llegamos. ¡Ánimo, piratas!

—Es que este puente es tan largo…

—Ven tiene razón, Mati, es larguísimo.

Mati, viendo la moral de su tropa derribarse por momentos, le pregunta:

—¿Sabéis cómo se llama este puente?

—Barqueta —dijo Sal casi sin resuello.

—Parece un canasto.

—Sí, es verdad —dijo Mati sonriendo.

—A mí me gusta más el del Alamillo…

—¿Cuántos puentes hay en Sevilla, Mati?

—Uy, pues sólo sobre la dársena del Guadalquivir hay 9…

—Contando el del Quinto Centenario, ¿no?

—Bueno, ése está sobre el brazo vivo del río, y no está en la ciudad… Oye, por cierto, os voy a contar un acertijo sobre puentes y descansamos un rato.

Los pequeños, sin decir nada, se dejaron caer sentaditos en el suelo.

—Hace mucho tiempo, en el siglo XVIII, en una ciudad llamada, por entonces, Könisberg, pasaba un río, Pregel, que dividía a la ciudad en cuatro partes…

—¿Cómo puede ser eso, Mati? —interrumpió Sal mirando por encima de las gafotas.

—Pues porque tenía esta forma, a ver:

—En esos tiempos, alguien formuló la siguiente pregunta: «¿Es posible, comenzando en cualquier sitio de la ciudad de Könisberg, elegir un camino que nos permita pasar una única vez por cada uno de los siete puentes sobre el río Pregel?»

—¿Andando? —preguntó Ven despavorido.

Mati soltó una carcajada.

—Bueno, eso da igual, en bici, si quieres —le respondió la pelirroja.

—¿Existían las bicis? —quiso saber el gafotas.

—Pues no, porque el precursor de la bicicleta fue un señor inventor alemán, Karl von Drais, y eso fue ya en el siglo XIX —les contó —Pero bueno, como estáis cansaditos, lo pensaremos en bici. ¿Qué creéis? ¿Se puede?

Los niños se quedaron un rato pensando, garabateando el mapa de Könisberg que les había dado.

—Fijaos en una cosa, si ponemos un punto en cada una de las cuatro partes de la ciudad y una rayita uniendo los puntos, como si fueran los puentes…

…la pregunta sería si puedo dibujar esto:

sin levantar el lápiz y sin pasar dos veces por la misma rayita.

Finalmente, Sal sentenció:

—No, no se puede.

—¿Por qué?

—Porque no nos sale —respondió con cara de pícaro sabiendo que eso no era un prueba concluyente para Mati.

—Pues, muy bien, ésa es la respuesta pero no es la explicación. Fue Euler, un matemático muy famoso, el que demostró que, efectivamente, era imposible. Este tipo de dibujos, con puntos y líneas, se llaman grafos. Pues bien, Euler, que era más listo que la mar, demostró que un grafo se puede dibujar empezando en uno de los puntitos pasando por todas las líneas, sin repetir ninguna, sólo si, como mucho, hay dos puntos que tienen un número impar de líneas saliendo de ellos.

—Vamos a ver qué pasa con nuestro grafo. Contaremos cuántas líneas salen de cada punto.

—Todos son impares, Mati —dijo Ven con tristeza.

—Entonces, no se puede, porque no puede haber más de 2. ¿Y éste? ¿Se puede?

—Bueno, tampoco, porque tiene cuatro puntos con un número impar de líneas —aseguró, muy acertadamente Sal.

—Muy bien, Sal. En realidad, no hace falta contar las líneas que salen de cada punto, en el momento en que encuentras tres puntos con un número impar de ellas, ya has terminado.

—Otro, Mati, ¡otro! —pidió entusiasmado Ven

—A ver éste:

Los niños se pusieron manos a la obra a contar las líneas que salían de cada vértice, finalmente el pequeño gritó:

—¡Tampoco! ¡He encontrado ya tres puntos con 5!

—Muy bien, Ven. Ahora probemos, con otro, ¿se podrá dibujar sin levantar el lápiz y sin pintar ninguna rayita dos veces?

—¡Éste sí! —Sal estaba sonriendo satisfecho—; ¡todos son pares!

—Exacto. A ver si sois capaces de dibujarlo sin repetir líneas y sin levantar el lápiz.

Los dos hermanos se pusieron manos a la obra y tras algún que otro intento fallido, encontraron la forma de hacerlo como les había pedido su amiga Mati.

—Muy bien, piratas. Estoy orgullosa de vosotros. Otro más.

—Todos pares —dijo Ven muy orgulloso.

—Pues, nada, intentad hacerlo —Mati les guiñó un ojo.

—¿Ahora, Mati? Estoy muy cansado.

Mati acarició la carita de los dos pequeños mientras que reiniciaban el camino a casa.

FIN

El problema de los puentes de Könisberg es famoso por ser el origen de una rama de las matemáticas conocida como Teoría de Grafos. Efectivamente, fue Euler el matemático que lo resolvió y por eso, a los caminos que recorren todas las aristas (líneas) del grafo, sin repetir ninguna, se les llama caminos eulerianos.

Si queréis profundizar más en este problema os recomiendo esta entrada en Gaussianos.

Cuando se planteó el problema de los puentes, Könisberg formaba parte de Prusia Oriental. Actualmente la ciudad pertenece a Rusia y se llama Kaliningrado. De los 7 puentes originales, dos fueron destruidos durante la Segunda Guerra Mundial. Otros dos de los puentes, se derribaron y reemplazaron por otros más modernos en el mismo emplazamiento. Con lo que, actualmente, sólo quedan 5 puentes (de los originales) en la ciudad como se ven en la figura, marcados en amarillo.

Y la pregunta es: y con esos 5 puentes, ¿se puede hacer un recorrido comenzando y terminando en el mismo punto de la ciudad y pasando una y sólo una vez por cada puente?


Comentarios

  1. Fernando [oct 1, 18:29]

    Matemáticas + historia = éxito seguro.

    Muy buen post, me recuerda a mi primer año de carrera en la asignatura Teoría de Grafos.

  2. Iván [oct 1, 20:42]

    Qué maravilla… Coincido con Fernando, la historia congenia con las matemáticas a la perfección. Aunque también con cualquier otra ciencia. ;)
    Soy fan de la Mati de cuento y de la real. Aunque ambas son la misma persona.

  3. Raquel Garcia [oct 1, 21:20]

    Yo también soy fan de Mati ;) Mati Mola.

  4. Samuel [oct 2, 07:02]

    Sí se puede! Se han cargado la no-solución original de la historia de königsberg :/

  5. Alberto [oct 2, 19:12]

    Samuel: eso lo arreglamos con un poco de TNT ;-)

  6. Taimunozhan [oct 3, 07:05]

    ¡Genial, como todos los cuentos de Matiaventuras, excelente serie para enseñar y aprender matemáticas!

    ¡Y lo del loro Fermat es imperdible!

  7. Yoel [oct 4, 00:30]

    Samuel, ¿estás seguro de que se puede en la actualidad? Te reto a que me lo demuestres.

  8. Sergio [oct 4, 23:35]

    Yoel,

    Es miy sencillo, tal y como está la foto solamente hay que seguir el siguiente recorrido:
    Isla central —> Orilla superior —> Orilla derecha —> Isla central —> Orilla inferior —> Orilla derecha

    ¡Enhorabuena por el post!
    Saludos

  9. Lluis [oct 5, 03:50]

    Si son grafos, no se podrá, pero en la Königsberg de antes de la guerra, y con los siete puentes, vaya que si se puede.
    Sólo hay que recordar que el río Pregel es eso, un río. Con su fuente. Basta que el paseo se remonte hasta la fuente, la bordeas por detrás, y listo.
    Ya… es trampa, pero poderse, se puede.

  10. Yoel [oct 6, 00:58]

    Quizá haya entendido yo mal el problema que se propone al final, pero según lo que yo he entendido es necesario terminar en EL MISMO PUNTO de partida. Tu solución, Sergio, acaba en diferente posición… Creo que, al igual que el problema original, en la actualidad sigue siendo imposible empezando desde cualquier punto pasar por todos los puentes una sola vez y terminar en el mismo punto de partida.
    Un saludo

  11. Betty [feb 20, 11:30]

    Todo grafo tiene cantidad par de vértices de grado impar, o sea 0-2-4-6… vertices de grado impar. Si se pide que tenga como máximo dos vértices de grado impar, el grafo puede tener 0 ó 2 vértices de grado impar.
    Si tiene cero, todos son de grado par, se comienza por un vértice cualquiera y se termina en el mismo.
    Si tiene dos vertices de grado impar, comenzamos en uno de ellos y terminamos en el otro (única ma nera de recorrerlo).
    Es el juego de la casita (cuadrado con un triángulo que lo corona) o del sobre cerrado visto del lado de la solapa (cuadrado con un triángulo colgando del lado superior) que tratábamos de recorrer cuando éramos chicos, sin levantar el lápiz (hasta que alguien se daba cuenta de qué vértice debía ser el comienzo …)

  12. cludio [mar 12, 21:25]

    pues me parece super!!!!!!!

  13. cludio [mar 12, 21:26]

    amo las matematicas lastima que olo en mis sueños jejeje

  14. jose [jun 28, 19:01]

    No
    Pero con 4 puentes o con 10 Sí

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